Question

设函数f（x）=m-e^-nx（m，n∈R）
（1）若f（x）在点x=0处的切线方程为y=x，求m，n的值．
（2）在（1）条件下，设x≥0且

x

x+a

有意义时，恒有f(x)≥

x

x+a

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f^′（0）=1，f（0）=0即可求出；
（2）通过对a分类讨论，利用研究函数的单调性即可求出．

解答：解：（1）∵函数f（x）=m-e^-nx，∴f^′（x）=ne^-nx，∴f^′（0）=n=1，
当x=0时，y=0，∴切点为（0，0）．
∴f（0）=0=m-1，解得m=1．
∴m=n=1．
（2）①当a=0时，f（x）=1-e^-x＜1与已知矛盾；
②当a＜0时，f(x)≥

x

x+a

，x≥0，可变形为e-x≤

a

x+a

，
若x∈(-a，+∞)，0＜e-x＜1，

a

x+a

＜0，
此时e-x＞

a

x+a

与e-x≤

a

x+a

矛盾，因此应舍去；
③当a＞0时，不等式1-e-x≥

x

x+a

等价转化为ex-

x

a

-1≥0，
令h(x)=ex-

x

a

-1，则h′(x)=ex-

1

a

，
若0＜

1

a

≤1，即a≥1时，h^′（x）≥0，f（x）单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，∴f(x)≥

x

x+a

恒成立；
若

1

a

＞1，即0＜a＜1时，令h′（x）=0，解得x=ln

1

a

．
当时，x∈(0，ln

1

a

)，h^′（x）＜0，h（x）单调递减，此时h（x）＜h（0）=0，与h（x）≥0矛盾．
综上所述：a的取值范围为{a|a≥1}．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法及导数的几何意义是解题的关键．