Question

20．已知函数f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=-x+1+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）．
（1）当a=1时，证明函数h（x）只有一个零点；
（2）若函数h（x）在定义域内没有极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要证明函数h（x）只有一个零点，即函数h（x）的图象与x轴只有一个交点，可以讨论函数h（x）的极值或最值情况；
（2）函数h（x）在定义域内没有极值点，等价于h′（x）≥0或h′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+x-2，
∴h（x）=x²+2x-4lnx-3，
h’（x）=2x+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+2x-4}{x}=\frac{{2（x}^{2}+x-2）}{x}=\frac{2（x+2）（x-1）}{x}$，
当h’（x）=0时得x=-2，或x=1，
由g（x）=-x+1+4lnx知x＞0，
∴当0＜x＜1时，h’（x）＜0 h（x）为减函数；
当1＜x时，h’（x）＞0 h（x）为增函数．
∴h（1）=0所以h（x）的最小值，
故函数h（x）只有一个零点；
（2）因为h（x）=ax²+2x-4lnx-3，x∈（0，+∞），
所以${h}^{'}（x）=2ax+2-\frac{4}{x}=\frac{2（a{x}^{2}+x-2）}{x}$，
因为函数h（x）在定义域内没有极值点，且x＞0，
所以ax²+x-2≥0或ax²+x-2≤0对x∈（0，+∞）恒成立，
令φ（x）=ax²+x-2，
当a=0时，x-2≥0或x-2≤0在x∈（0，+∞）时，均不可能恒成立，
当a＞0时，因为函数φ（x）=ax²+x-2，
对称轴为$x=-\frac{1}{2a}$，开口向上的抛物线，
所以ax²+x-2≤0不可能恒成立；
由a＞0，知$x=-\frac{1}{2a}＜0$，又φ（0）=-2＜0，
所以ax²+x-2≥0，也不可能恒成立；
当a＜0时，因为函数φ（x）=ax²+x-2，
对称轴为$x=-\frac{1}{2a}$，开口向下的抛物线，
所以ax²+x-2≥0不可能恒成立，
由a＜0，知$x=-\frac{1}{2a}＞0$，
所以当x∈（0，+∞）时，
$φ{（x）}_{max}=φ（-\frac{1}{2a}）≤0$，即$-\frac{1}{4a}≤2$，
所以$a≤-\frac{1}{8}$．

点评 函数与方程数学思想方法是一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，常见的方法有：1．作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论；2．分离变量再构造函数法，直接研究新构造函数的最值；3．根据已知条件联想法，此法对思维的敏捷性与知识的综合性要求较高．