Question

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$所确定的平面区域内的动点，点Q是直线3x+4y-7=0上任意一点，O为坐标原点，则|$\overline{OP}+\overline{OQ}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{9}{5}$
• D． $\frac{11}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合结合向量的基本运算即可得到结论

解答 解：作出不等式组对应的平面区域：
设P（x，y），
∵Q在直线3x+4y+7=0上，
∴设Q（m，n），
则$\overline{OP}+\overline{OQ}$=（x+m，y+n），
所以设z=|$\overline{OP}+\overline{OQ}$|=$\sqrt{（x+m）^{2}+（y+n）^{2}}$
则z的几何意义为平面区域内的动点P到动点Q关于原点对称的点的距离的最小值，
由图象可知当P位于点（1，0）时，
Q为P在直线3x+4y+7=0的垂足时，
z取得最小值为d=$\frac{|3+7|}{5}$=2

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的基本运算，利用数形结合是解决本题的关键．