Question

已知平面上三个向量

a

，

b

，

c

的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，
（1）求证：(

b

-

c

)⊥

a

；
（2）若|t

a

+

b

+

c

|＞1（t∈R），求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知中三个向量

a

，

b

，

c

的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，可得

b

•

a

=

c

•

a

=

b

•

c

=-

1

2

，进而可得(

b

-

c

)•

a

=0，结合向量垂直的充要条件，可得结论
（2）由|t

a

+

b

+

c

|＞1，结合（1）中结论，可得t²-2t＞0，解不等式可得t的取值范围．

解答：证明：（1）∵三个向量

a

，

b

，

c

的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，
∴

b

•

a

=

c

•

a

=

b

•

c

=-

1

2

，
故(

b

-

c

)•

a

=

b

•

a

-

c

•

a

=0，
∴(

b

-

c

)⊥

a

…（5分）
解：（2）|t

a

+

b

+

c

|2=t2

a

2+

b

2+

c

2+2t

a

•

b

+2t

a

•

c

+2

b

•

c

=t2+2-2t-1=t2-2t+1＞1，
∴t²-2t＞0，
解得t＜0或t＞2，
故t的取值范围为t＜0或t＞2…（13分）

点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的坐标表示，模，夹角，熟练掌握平面向量数量积的运算是解答的关键．