【题目】已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-cos 2x.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
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【题目】已知数列{an}满足an+2﹣2an+1+an=0(n∈N*),a2=4,其前7项和为42,设数列{bn}是等比数列,数列{bn}的前n项和为Sn满足b1=a1﹣1,S30﹣(310+1)S20+310S10=0.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)令cn=1+log3 ,dn= + ,求证:数列{dn}的前n项和Tn≥ .
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意可求得,则,椭圆的方程为.
(Ⅱ)设,,
当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时,.
当直线、的斜率存在时,,设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线的斜率为,直线的斜率为,则.综上可得:直线与的斜率之积为定值.
(Ⅰ)设由题,
解得,则,椭圆的方程为.
(Ⅱ)设,,当直线的斜率不存在时,
设,则,直线的方程为代入,
可得 ,,则,
直线的斜率为,直线的斜率为,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得.
当直线、的斜率存在时,设直线的方程为,
则由消去可得:,
又,则,代入上述方程可得:
,,
则 ,
设直线的方程为,同理可得 ,
直线的斜率为
直线的斜率为, .
所以,直线与的斜率之积为定值,即.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.
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【题目】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
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【题目】有人在路边设局,宣传牌上写有“掷骰子,赢大奖”.其游戏规则是这样的:你可以在1,2,3,4,5,6点中任选一个,并押上赌注元,然后掷1颗骰子,连续掷3次,若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次,2次,3次,那么原来的赌注仍还给你,并且庄家分别给予你所押赌注的1倍,2倍,3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中,你所押的点数没出现,那么你的赌注就被庄家没收.
(1)求掷3次骰子,至少出现1次为5点的概率;
(2)如果你打算尝试一次,请计算一下你获利的期望值,并给大家一个正确的建议.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)当二面角的大小为时,
试判断点在上的位置,并说明理由.
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【题目】已知全集U=R,若集合A={y|y=3﹣2﹣x},B={x| ≤0},则A∩UB=( )
A.(﹣∞,0)∪[2,3)
B.(﹣∞,0]∪(2,3)
C.[0,2)
D.[0,3)
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦点分别为 、 ,点P在椭圆C上,满足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=4 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A(1,0),试探究是否存在直线l:y=kx+m与椭圆C交于D、E两点,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆E的中心在坐标原点,左、右焦点F1、F2分别在x轴上,离心率为 ,在其上有一动点A,A到点F1距离的最小值是1,过A、F1作一个平行四边形,顶点A、B、C、D都在椭圆E上,如图所示.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)判断ABCD能否为菱形,并说明理由.
(Ⅲ)当ABCD的面积取到最大值时,判断ABCD的形状,并求出其最大值.
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