(1)若椭圆C上的点A(1,3[]2)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM?,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲线=1具有类似特性的性质并加以证明.
解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2A=4,即A=2.?
又点A(1,3[]2)在椭圆上,因此+=1,b2=3.??
∴C2=A2-b2=1.?
∴椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).??
(2)设椭圆C上的动点为K(x,y),线段F1K的中点Q(x,y)满足:x=,y=,
∴x1=2x+1,y1=2y.?
∴=1,即(x+)2+=1为所求的轨迹方程.?
(3)类似的性质为:若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为(M,n),则点N的坐标为(-M,-n),其中=1.
又设点P的坐标为(x,y),由kPM=,?
kPN=得kPM·kPN=·=.?
将y2=x2-b2,n2=M2-b2代入,得kPM·kPN=
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
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