Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=-f（x），且函数y=f（x-）为奇函数，下面关于f（x）的判定正确序号的选项为
①函数f（x）是周期函数；　　　　②函数f（x）的图象关于点（-，0）对称；
③函数f（x）为R上的单调函数；　④函数f（x）为R上的偶函数．

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②④

Answer 1

D
分析：①把x取代入f（x+）=-f（x），即可求出周期；
②先求函数y=f（x-）的对称中心，通过图象平移求函数f（x）的对称中心；
③周期函数不符合单调函数的定义；
④根据函数y=f（x-）为奇函数，得出，
结合条件f（x+）=-f（x），联立变化可证函数f（x）为偶函数．
解答：①因为定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=-f（x），取x=x+得：
即=-[-f（x）]=f（x），所以函数f（x）是周期为3的函数；
②函数y=f（x-）为奇函数，则其图象关于（0，0）对称，而函数f（x）的图象是把函数y=f（x-）的图象向左平移个单位得到的，所以数f（x）的图象关于点（-，0）对称；
③因为函数f（x）是周期函数，不满足函数的单调性概念所以函数f（x）不是R上的单调函数；
④因为函数y=f（x-）为奇函数，所以有，
取x=x+，则有，所以
又f（x+）=-f（x），所以f（x+）=f（-x-），再令x=x+，所以有
所以有f（x+3）=f（-x-3），即f（x）=f（-x），所以函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称．
所以叙述正确的是①②④．
故选D．
点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查了迭代法，同时考查了函数的图象平移问题，解答此题的关键是灵活运用变量x的变化，是易错题．