Question

.(12分)如图，在四棱台ABCD－A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.
(1)求证：B₁B∥平面D₁AC；
(2)求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.

Answer 1

证明：　(1)设AC∩BD＝E，连结D₁E，
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁.
∴B₁D₁∥BE，∵B₁D₁＝BE＝，
∴四边形B₁D₁EB是平行四边形，
所以B₁B∥D₁E.
又因为B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
所以B₁B∥平面D₁AC   ---------------------------------------6分
(2)证明：侧棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁.
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD.
∵DD₁与DB是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，
∴AC⊥平面B₁BDD₁
∵AC?平面D₁AC，∴平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.---------------------12分

略