Question

某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）当x为何值时，水池的总造价最低？

Answer 1

分析：（I）水池的底面积为S₁，池壁面积为S₂，根据池底长方形长为x米，容积为4800立方米，深度为3米，先后计算出底面面积，底面宽，进而得到池壁面积的表达式．
（II）由（I）中池壁面积和底面面积，结合池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元易构造出总造价的表达式，根据基本不等式，即可得到当x为何值时，水池的总造价最低．

解答：解：（Ⅰ）设水池的底面积为S₁，池壁面积为S₂，
则有S1=

4800

3

=1600（平方米），
可知，池底长方形宽为

1600

x

米，则S2=6x+6×

1600

x

=6(x+

1600

x

)．…（6分）
（Ⅱ）设总造价为y，则y=150×1600+120×6(x+

1600

x

)≥240000+57600=297600
当且仅当x=

1600

x

，即x=40时取等号，
所以x=40时，总造价最低为297600元．
答：x=40时，总造价最低为297600元．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式在最值问题中的应用，其中根据已知条件，分析数量关系后，将实际问题转化为一个函数模型，将问题转化为求函数最值问题，是解答本题的关键．