Question

19．设数集M=$\{x\left|{m≤x≤m+\frac{7}{10}}\right.\}$，N=$\{x\left|{n-\frac{2}{5}≤x≤n}\right.\}$且集合M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 先求出0≤m≤$\frac{3}{10}$，$\frac{2}{5}≤n≤1$，再由$\left\{\begin{array}{l}{m≥n-\frac{2}{5}}\\{n≥m}\\{m+\frac{7}{10}≥n}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{n-\frac{2}{5}≥m}\\{n≤m+\frac{7}{10}}\\{\;}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{n-\frac{2}{5}≥m}\\{m+\frac{7}{10}≥n-\frac{2}{5}}\\{m+\frac{7}{10}≤n}\end{array}\right.$三种情况进行发类讨论经，能求出M∩N的“长度”的最小值．

解答 解：∵数集M=$\{x\left|{m≤x≤m+\frac{7}{10}}\right.\}$，N=$\{x\left|{n-\frac{2}{5}≤x≤n}\right.\}$且集合M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m+\frac{7}{10}≤1}\end{array}\right.$，∴0≤m≤$\frac{3}{10}$，
$\left\{\begin{array}{l}{n-\frac{2}{5}≥0}\\{n≤1}\end{array}\right.$，∴$\frac{2}{5}≤n≤1$，
①若$\left\{\begin{array}{l}{m≥n-\frac{2}{5}}\\{n≥m}\\{m+\frac{7}{10}≥n}\end{array}\right.$，则M∩N={x|m≤x≤n}，
此时集合M∩N的“长度”为：n-m∈[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]
此时合M∩N的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$；
②若$\left\{\begin{array}{l}{n-\frac{2}{5}≥m}\\{n≤m+\frac{7}{10}}\\{\;}\end{array}\right.$，则M∩N={x|n-$\frac{2}{5}＜x＜n$}，
此时集合M∩N的“长度”为：n-m=$\frac{2}{5}$，
此时M∩N的“长度”的最小值是$\frac{2}{5}$；
③若$\left\{\begin{array}{l}{n-\frac{2}{5}≥m}\\{m+\frac{7}{10}≥n-\frac{2}{5}}\\{m+\frac{7}{10}≤n}\end{array}\right.$，则M∩N={x|$n-\frac{2}{5}$$≤x≤m+\frac{7}{10}$}，
此时集合M∩N的“长度”为：m-n+$\frac{11}{10}$∈[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]
此时M∩N的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$．
综上，M∩N的“长度”的最小值是$\frac{1}{10}$．
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查交集的长度的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．