Question

设直线l的方程为x+ycosθ+3=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围（　　）

• A．[0，π）
• B．[

  π

  4

  ，

  π

  2

  ）
• C．[

  π

  4

  ，

  3π

  4

  ]
• D．[

  π

  4

  ，

  π

  2

  ）∪（

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]

Answer 1

分析：根据题意，分cosθ=0和cosθ≠0两种情况加以讨论，结合余弦函数的值域和正切函数的单调性，即可得到直线l的倾斜角α的取值范围．

解答：解：由题意，当cosθ=0时，l的方程化x+3=0，
此时，直线l的倾斜角α为90°；
当cosθ≠0时，将直线化成斜截式：y=-

1

cosθ

x-

3

cosθ

直线x+ycosθ+3=0（θ∈R）的倾斜角为α，可得tanα=-

1

cosθ

∵-1≤cosθ≤1且cosθ≠0
∴tanα=-

1

cosθ

∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
∵0°≤α＜180°，∴结合正切函数的单调性，可得45°≤α≤135°，且α≠90°
综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围是：[

π

4

，

3π

4

]
故选：C

点评：本题给出直线方程含有余弦函数系数的形式，求直线倾斜角范围，着重考查了余弦函数的值域和正切函数的单调性等知识，属于基础题．