分析 (1)利用等差数列通项公式列出方程组,求出首项、公差,由此能求出{an}的通项公式,由数列{bn}的前n项和Sn=2bn-2,得{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式.
(2)由cn=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和.
解答 解:(1)∵数列{an}为等差数列,a3=3,a7=7,设公差为d.
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{{a}_{1}+6d=7}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$,
∴an=1+(n-1)×1=n,n∈N*.
∵数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2,
∴b1=S1=2b1-2,解得b1=2,
当n≥2时,由Sn=2bn-2及Sn-1=2bn-1-2,
两式相减,得bn=2bn-2bn-1,∴bn=2bn-1,
∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴bn=2•2n-1=2n.(n∈N*).
(2)∵cn=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴数列{cn}的前n项和:
Tn=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$,①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$,②
①-②,得:$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$,
∴Tn=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$.
点评 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{15}{2}$ | B. | $\frac{13}{2}$ | C. | $\frac{31}{2}$ | D. | $\frac{51}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{13}}{4}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D. | -$\frac{\sqrt{13}}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
分组 | 频数 | 频率 |
[0,0.5) | 4 | 0.10 |
[0.5,1) | m | p |
[1,1.5) | 10 | n |
[1.5,2) | 6 | 0.15 |
[2,2.5) | 4 | 0.10 |
[2.5,3) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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