Question

【题目】函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞， ）内单调递减，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】﹣1≤a≤0
【解析】解：∵g′（x）=3ax2+4（1﹣a）x﹣3a，g（x）在（﹣∞，a/3）递减， 则g′（x）在（﹣∞，a/3）上小于等于0
①a=0时，g′（x）≤0，解得：x≤0，即g（x）的减区间是（﹣∞，0），
∴ ≤0，才能g（x）在（﹣∞， ）递减，解得a=0
②a＞0，g′（x）是一个开口向上的抛物线，
要使g′（x）在（﹣∞， ）上小于等于0 解得：a无解
③a＜0，g′（x）是一个开口向下的抛物线，
设g′（x）与x轴的左右两交点为A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）
由韦达定理，知x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣1，
解得：x1=﹣ ，
则在A左边和B右边的部分g′（x）≤0 又知g（x）在（﹣∞， ）递减，
即g′（x）在（﹣∞， ）上小于等于0，
∴x1≥ ，解得﹣1≤a≤5，取交集，得﹣1≤a＜0，
∴a的取值范围是﹣1≤a≤0．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．