Question

设a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）上的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

满足：f（x）+f（-x）=0．
（1）求实数a的值；
（2）求b的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义可得a．
（2）再利用奇函数和对数函数的定义域可得b的取值范围．

解答： 解：（1）依题意知：当x∈（-b，b）时，f（-x）=-f（x）恒成立，∴函数是奇函数，
即 lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

恒成立，
 而lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

?

1-ax 1-2x = 1+2x 1+ax ?a2x2=4x2⇒a2=4，⇒a=-2(2舍去) 1-ax 1-2x ＞0

，
即a=-2．
（2）由

1+2x

1-2x

＞0，解得-

1

2

＜x＜

1

2

．
依题意知：（-b，b）⊆（-

1

2

，

1

2

），
∴0＜b≤

1

2

即b∈（0，

1

2

]．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数函数的运算法则，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．