Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，E，F分别为A₁C₁，BC的中点，AA₁=3，AC=2，BC=1，AB⊥BC．
（Ⅰ）求三棱锥E-ABF的体积；
（Ⅱ）求证：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用V_E-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABF•AA₁，可求三棱锥E-ABF的体积；
（Ⅱ）证明C₁F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC₁为平行四边形，可得C₁F∥EG；
（Ⅲ）证明AB⊥B₁BCC₁，可得平面ABE⊥B₁BCC₁．

解答 解：（Ⅰ）∵AA₁=3，AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴V_E-ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABF•AA₁=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$）×3=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=$\frac{1}{2}$AC，
∵E是A₁C₁的中点，
∴FG∥EC₁，FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，
∴BB₁⊥AB，
∵AB⊥BC，BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面B₁BCC₁，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E-ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．