Question

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）若

AM

=

1

2

MB

，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抛物线C₂有公共焦点F（1，0），可知该抛物线的标准方程的形式和P的值，代入即可；
（Ⅱ）设出直线l的方程为y=k（x-4），联立方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理和△＞0及

AM

=

1

2

MB

，消去y₁，y₂，可求得斜率k的值；
（Ⅲ）设P（m，n），则OP中点为(

m

2

，

n

2

)，因为O、P两点关于直线y=k（x-4）对称，利用对称的性质（垂直求平方），可求得斜率k的值，联立直线与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，△≥0，解不等式即可椭圆C₁的长轴长的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C₂的焦点F（1，0），
∴

p

2

=1，即p=2
∴抛物线C₂的方程为：y²=4x，
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=k（x-4），（k存在且k≠0）．
联立

y=k(x-4) y2=4x

，消去x，得ky²-4y-16k=0，
显然△=16+64k²＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

4

k

    ①y₁•y₂=-16          ②
又

AM

=

1

2

MB

，所以y1=-

1

2

y2         ③
由①②③消去y₁，y₂，得k²=2，
故直线l的方程为y=

2

x-4

2

，或y=-

2

x+4

2

．
（Ⅲ）设P（m，n），则OP中点为(

m

2

，

n

2

)，因为O、P两点关于直线y=k（x-4）对称，
所以

n 2 =k( m 2 -4) n m •k=-1

，即

km-n=8k m+nk=0

，解之得

m= 8k2 1+k2 n=- 8k 1+k2

，
将其代入抛物线方程，得：(-

8k

1+k2

)2=4•

8k2

1+k2

，所以，k²=1．
联立

y=k(x-4) x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y，得：（b²+a²k²）x²-8k²a²x+16a²k²-a²b²=0．
由△=（-8k²a²）²-4（b²+a²k²）（16a²k²-a²b²）≥0，
得16a²k⁴-（b²+a²k²）（16k²-b²）≥0，
即a²k²+b²≥16k²，
将k²=1，b²=a²-1代入上式并化简，得2a²≥17，所以a≥

34

2

，即2a≥

34

，
因此，椭圆C₁长轴长的最小值为

34

．

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（Ⅲ）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，