Question

1．斜率为2的直线L经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直线过其焦点且斜率为2，可得方程，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得p．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
抛物线y²=2px的焦点F为（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由于直线过其焦点且斜率为2，
可得方程为y=2（x-$\frac{p}{2}$）．
代入抛物线方程可得4x²-6px+p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$p，
∵AB的中点到抛物线准线的距离为1，
∴$\frac{3}{4}$p+$\frac{P}{2}$=1，
解得p=$\frac{4}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于中档题．