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(2012•贵溪市模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2,a3
(2)求Sn的表达式.
分析:(1)把n=1,n=2,n=3分别代入已知递推公式即可求解a1,a2,a3
(2)解法一:由题设Sn2-2Sn-anSn+1=0,利用n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入整理可求S1,S2,S3,然后猜想Sn,利用数学归纳法进行证明即可
解法二:由题设Sn2-2Sn-anSn+1=0,利用n≥2,an=Sn-Sn-1代入整理,得SnSn-1-2Sn+1=0,然后构造等差数列
1
Sn-1
,根据等差数列的通项公式可求
1
Sn-1
,进而可求
解答:解:(1)当n=1时,由已知得a12-2a1-a12+1=0
∴a1=
1
2

同理,可解得 a2=
1
6
,a3=
1
12
       (5分)
(2)解法一:由题设Sn2-2Sn-anSn+1=0,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
代入上式,得Sn-1Sn-2Sn+1=0,(*) (6分)
由(1)可得S1=a1=
1
2
,S2=a1+a2=
1
2
+
1
6
=
2
3
由(*)式可得S3=
3
4

由此猜想:Sn=
n
n+1
   (8分)
证明:①当n=1时,结论成立.
②假设当n=k时结论成立,
Sk=
k
k+1
那么,由(*)得Sk+1=
1
2-Sk

Sk+1=
1
2-
k
k+1
=
k+1
k+2

所以当n=k+1时结论也成立,根据①和②可知,
Sn=
n
n+1
对所有正整数n都成立.(12分)
解法二:由题设Sn2-2Sn-anSn+1=0,
当n≥2,an=Sn-Sn-1
代入上式,得SnSn-1-2Sn+1=0
Sn=
1
2-Sn-1

Sn-1=
1
2-Sn-1
-1
=
Sn-1-1
2-Sn-1

1
Sn-1
=
2-Sn
Sn-1-1
=-1+
1
Sn-1-1

∴数列{
1
Sn-1
}是以
1
S1-1
=-2为首项,以-1为公差的等差数列,
1
Sn-1
=-2+(-1)(n-1)
=-n-1
Sn=1-
1
1+n
=
n
n+1
 (12分)
点评:本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项及和,解法二中的构造等差数列进行求解通项公式的方法要注意体会掌握
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