Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a为常数），求f（x）的最小正周期和单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意，先化简函数解析式为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+a，再由周期公式求出周期，由复合三角函数单调性的示法求出单调区间．

解答： 解：f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a=2sin2xcos

π

6

-cos2x+a=2sin（2x-

π

6

）+a
所以，函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得，kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

π

3

，即函数的单调增区间为[kπ-

π

6

，2kπ+

π

3

]k∈z，
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解得，kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

5π

6

，即函数的单调减区间为[kπ+

π

3

，2kπ+

5π

6

]k∈z，
综上，函数的最小正周期为π，函数的单调增区间为[[kπ-

π

6

，2kπ+

π

3

]k∈z，函数的单调减区间为[kπ+

π

3

，2kπ+

5π

6

]k∈z．

点评：本题考查三角恒等变换的应用与三角函数周期的求法公式及单调区间的求法，性质考查题，知识技能型，此类题属于难度较低的类型．