精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1相切.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A(x,y)为圆上任意一点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足,(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹方程C2
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点,且∠BOD为钝角,请说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)根据圆与直线l1相切,利用点到直线的距离,求出圆的半径,从而可求圆C1的方程;
(Ⅱ)设出点的坐标,利用向量条件,确定动点坐标之间的关系,利用A为圆上的点,即可求得动点Q的轨迹方程C2
(Ⅲ)时,曲线C方程为,假设直线l的方程,与椭圆联立,利用韦达定理及向量条件,利用数量积小于0,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)设圆的半径为r,圆心到直线l1距离为d,则…(2分)
所以圆C1的方程为x2+y2=4…(3分)
(Ⅱ)设动点Q(x,y),A(x,y),AN⊥x轴于N,N(x,0)
由题意,(x,y)=m(x,y)+n(x,0),所以…(5分)
即:,将代入x2+y2=4,得…(7分)
(Ⅲ)时,曲线C方程为,假设存在直线l与直线l1垂直,
设直线l的方程为y=-x+b…(8分)
设直线l与椭圆交点B(x1,y1),D(x2,y2
联立得:,得7x2-8bx+4b2-12=0…(9分)
因为△=48(7-b2)>0,解得b2<7,且…(10分)
=
==…(12分)
因为∠BOD为钝角,所以且b≠0,
解得且b≠0,满足b2<7
且b≠0,
所以存在直线l满足题意…(14分)
点评:本题考查圆的标准方程,考查代入法求轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是直线与椭圆方程联立,利用韦达定理进行求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1x-y-2
2
=0
相切.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A(x0,y0)为圆上任意一点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足
OQ
=m
OA
+n
ON
,(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹方程C2
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当m=
3
2
时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点,且∠BOD为钝角,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•吉林二模)已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1x-y-2
2
=0
相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足:
OQ
=m
OA
+(1-m)
ON
,(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程C2
(3)在(2)的结论下,当m=
3
2
时,得到曲线C,与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:吉林省模拟题 题型:解答题

已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-y-2=0相切,
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足,(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程C2
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当时,得到曲线C,与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:期末题 题型:解答题

已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1相切.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A(x0,y0)为圆上任意一点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足,(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹方程C2
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点,且∠BOD为钝角,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:《圆与方程》2013年山西省高考数学一轮单元复习(解析版) 题型:解答题

已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1相切.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设点A(x,y)为圆上任意一点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足,(其中m+n=1,m,n≠0,m为常数),试求动点Q的轨迹方程C2
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当时,得到曲线C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点,且∠BOD为钝角,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案