Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）= x3﹣ x2+ax﹣ （a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（ ）
A.（1， ]
B.[9，+∞）??
C.（1， ]∪[9，+∞）
D.[ ， ]∪[9，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3﹣6x2+9x，导数为f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）， 可得f（x）的极值点为1，3，
由f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0，f（4）=4，
可得f（x）在[0，4]的值域为[0，4]；
g（x）= x3﹣ x2+ax﹣ （a＞1），
导数为g′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），
当1＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＜1或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）递增．
由g（0）=﹣ ，g（1）= （a﹣1），g（a）=﹣ a3+ a2﹣ ，g（4）=13﹣4a，
当3≤a≤4时，13﹣4a≤ （a﹣1），
g（x）在[0，4]的值域为[﹣ ， （a﹣1）]，
由对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），
可得[0，4][﹣ ， （a﹣1）]，
即有4≤ （a﹣1），解得a≥9不成立；
当1＜a＜3时，13﹣4a＞ （a﹣1），
g（x）在[0，4]的值域为[﹣ ，13﹣4a]，
由题意可得[0，4][﹣ ，13﹣4a]，
即有4≤13﹣4a，解得a≤ ，即为1＜a≤ ；
当a＞4时，可得g（1）取得最大值，g（4）＜﹣3为最小值，
即有[0，4][13﹣4a， （a﹣1）]，
可得13﹣4a≤0，4≤ （a﹣1），即a≥ ，且a≥9，
解得a≥9．
综上可得，a的取值范围是（1， ]∪[9，+∞）．
故选：C．
求出f（x）的导数，可得极值点，分别求出f（0），f（1），f（3），f（4），可得值域；再求g（x）的导数，可得极值点，求出g（0），g（1），g（a），g（4），讨论a的范围，分a＞4，1＜a＜3，3≤a≤4，比较可得值域，再由题意可得f（x）的值域包含于g（x）的值域，得到不等式，解不等式即可得到所求范围．