Question

设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．给出下列四个函数：
①f（x）=

1

3

x³-x²+x+1；
②f（x）=lnx+

4

x+1

；
③f（x）=（x²-4x+5）e^x；
④f（x）=

x2+x

2x+1

，
其中具有性质P（2）的函数是

①②③

．（写出所有满足条件的函数的序号）

Answer 1

分析：因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x²-2x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的x∈D都有h（x）＞0．

解答：解：①f'（x）=x²-2x+1，若f′（x）=h（x）（x²-2x+1），即x²-2x+1=h（x）（x²-2x+1），
    所以h（x）=1＞0，满足条件，所以①具有性质P（2）．
②函数f（x）=lnx+

4

x+1

的定义域为（0，+∞）．f′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x+1)2-4x

x(x+1)2

=

1

x(x+1)2

?(x2-2x+1)，
所以h(x)=

1

x(x+1)2

，当x∈（0，+∞）时，h（x）＞0，所以②具有性质P（2）．
③f'（x）=（2x-4）e^x+（x²-4x+5）e^x=（x²-2x+1）e^x，所以h（x）=e^x，因为h（x）＞0，所以③具有性质P（2）．
④f′(x)=

(2x+1)(2x+1)-2(x2+1)

(2x+1)2

=

2x2+2x+1

(2x+1)2

，若f′(x)=

2x2+2x+1

(2x+1)2(x2-2x+1)

?(x2-2x+1)，
则h(x)=

2x2+2x+1

(2x+1)2(x2-2x+1)

，因为h（1）=0，所以不满足对任意的x∈D都有h（x）＞0，所以④不具有性质P（2）．
故答案为：①②③．

点评：本题的考点是导数的运算以及通过条件求h（x），本题的关键是通过关系式确定函数h（x）的表达式，然后判断条件是否成立．运算量较大．