Question

4．已知函数f（x）=4cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）-2．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，由周期公式可得；
（II）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，由三角函数的性质可得最值．

解答 解：（I）由三角函数公式化简可得f（x）=4cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）-2
=4cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-2=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（II）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取最大值1；
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取最小值-2．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和三角函数公式，属基础题．