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已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数.
(1)求b的值,并求a的取值范围;
(2)判断f(x)在其定义域R上的零点的个数.

解:(1)由已知得f′(x)=-3x2+2ax+b…(1分),
因为f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,
所以f(x)在x=0处取得极小值,f′(0)=0…(2分),解得b=0…(3分),
又因为f(x)在(0,1)上是增函数,所以f′(x)=-3x2+2ax>0,…(4分),
当x∈(0,1)时,,所以a的取值范围是…(5分),
(2)由(1)得,解f′(x)=0得x=0或…(6分),
x(-∞,0)0
f′(x)-0+0-
f(x)递减极小值递增极大值递减
…(9分)
(i)①当f(0)=c>0时,由上表知,f(x)>0,x取某个充分大的实数(例如)时,f(x1)<0,f(x)在定义域上连续,所以f(x)在区间上有一个零点,从而f(x)在其定义域R上有1个零点…(10分);
②当f(0)=c=0时,f(x)在区间上有一个零点,从而f(x)在其定义域R上有2个零点…(11分);
③当f(0)=c<0时,(ⅰ)若,则,x取某个充分小的实数(例如x2=-|a|)时,f(x2)>0,所以f(x)在区间(x2,0)上有一个零点,从而f(x)在其定义域R上有2个零点…(12分);
(ⅱ)若,则时,由上表知?x≥0,f(x)<0,f(x)在区间(x2,0)上有一个零点,从而f(x)在其定义域R上有1个零点…(13分);
(ⅲ)若,则时,f(x)在区间(x2,0)、上各有一个零点,从而f(x)在其定义域R上有3个零点…(14分);
综上所述,当c>0或时,f(x)在其定义域R上有1个零点;当c=0或时,f(x)在其定义域R上有2个零点;当时,f(x)在其定义域R上有3个零点.
分析:(1)求出导函数,据已知条件中函数的单调性,判断出x=0是一个极值点,将x=0代入导函数得到函数值为0,求出b的值.将b的值代入f(x)中,利用f(x)在(0,1)上是增函数,判断出f′(x)=-3x2+2ax>0在(0,1)上恒成立,列出不等式求出a的范围.
(2)利用函数在定义域内的单调性和最值研究零点的个数,对f(x)求导,找到单调区间,确定极值点,最后对极值点进行分类讨论则得到零点个数.
点评:本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题、根的存在性及根的个数判断.这里多注意分类讨论的思想.利用导数研究函数的单调性,求解函数的单调区间、极值、最值问题,是函数这一章最基本的知识,也是教学中的重点和难点,学生应熟练掌握.
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π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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