Question

已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为

2或

2 3

3

．

Answer 1

分析：先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得双曲线的两条渐近线的斜率±

3

或±

3

3

，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由

b

a

=

3

3

或

a

b

=

3

3

，再由双曲线中c²=a²+b²，求其离心率即可

解答：解：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，
若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为±

3

3

若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为±

3

①若双曲线的焦点在x轴上，则

b

a

=

3

3

或

b

a

=

3

∵c²=a²+b²
∴

c2-a2

a2

=

1

3

或

c2-a2

a2

=3

∴e2-1=

1

3

或e²-1=3
∴e=

2 3

3

或e=2
②若双曲线的焦点在y轴上，则

a

b

=

3

3

或

a

b

=

3

∵c²=a²+b²
∴

a2

c2-a2

=

1

3

或

a2

c2-a2

=3

∴e2-1=

1

3

或e²-1=3
∴e=

2 3

3

或e=2
综上所述，离心率为2或

2 3

3

故答案为 2或

2 3

3

点评：本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键