Question

下列四个命题：
①定义在R上的函数f（x）满足f（-2）=f（2），则f（x）不是奇函数；
②定义在R上的函数f（x）恒满足f（-x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数；
③一个函数的解析式为y=x²，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个；
④设函数f（x）=ln（x+

1+x2

）-x，则对于定义域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-  x2

＞-1．
其中为真命题的序号有

②③④

（填上所有真命题的序号）

Answer 1

分析：对于①给出反例y=x³-4x得出其为假命题；对于②可得f（x）≥0，则f（-x）=f（x），根据偶函数的定义进行判定即可；对于③，列举出所求满足条件的函数即可；对于④，可说明函数的切线的斜率的取值范围，从而得到平均变换率的范围．

解答：解：对于①，给出函数y=x³-4x，满足f（-2）=f（2），但f（x）是奇函数，说明③是假命题；
对于②，由f（-x）=|f（x）|≥0得f（-x）≥0对于任意x成立，则x取-x也成立即f（x）≥0，则f（-x）=f（x），∴f（x）一定是偶函数，该命题是真命题；
对于③，函数的解析式为y=x²，它的值域为{0，1，4}，定义域可以为{0，1，2}，{0，1，-2}，{0，-1，2}，{0，-1，-2}，{0，-1，1，2}，{0，-1，1，2}，{0，1，-2，2}，{0，-1，-2，2}，{0，-1，1，-2，2}共9个，故这样的不同函数共有9个，该命题是真命题；
对于④，函数g（x）=ln（x+

1+x2

）在R上递增，则g′（x）＞0，f′（x）=g′（x）-1＞-1，则对于定义域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-  x2

＞-1，该命题是真命题．
故答案为：②③④

点评：本题主要考查了函数性质的判定，以及命题的真假判断与应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．