Question

如图，在半径为30cm的

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4

圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xcm，圆柱的体积为Vcm³．
（1）写出体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

Answer 1

分析：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA=

900-x2

，
设圆柱底面半径为r，则

900-x2

=2πr，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用导数V′，得出其单调性即可．

解答：解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA=

900-x2

，
设圆柱底面半径为r，则

900-x2

=2πr，
即4πr²=900-x²，
∴V=πr²•x=

900-x2

4

•x=

900x-x3

4

．
其中0＜x＜30．
（2）由V′=

900-3x2

4

=0，得x=10

3

．
由V′＞0解得0＜x＜10

3

；由V′＜0解得10

3

＜x＜30．
因此V在（0，10

3

）上是增函数，在（10

3

，30）上是减函数．
所以当x=10

3

时，V有最大值．

点评：熟练掌握勾股定理、圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键．