Question

【题目】已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4
（1）若平面上有两点A（1，0），B（﹣1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|2+|BP|2取得最小值时点P的坐标；
（2）若Q是x轴上的动点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，①若 ，求直线QC的方程；②求证：直线MN恒过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），由两点间的距离公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P为圆上的点，所以 ，∴（|AP|2+|BP|2）min=20

此时直线 ，由题意得： ，∴P的坐标为

（2）解：①设Q（x，0），因为圆C的半径r=2，而 ，

则 ，

而|QN|=|QM|，△QMN为等边三角形．

∴|QC|2=|QN|2+|CN|2=16，∴|QC|=4，所求直线QC的方程：x=3

② ，则M，N在以QC为直径的圆上

设Q（a，0），则以QC为直径的圆的方程：

即x2+y2﹣（a+3）x﹣4y+3a=0与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21=0联立得：﹣a（x﹣3）+3x+4y﹣21=0，

故无论a取何值时，直线MN恒过定点（3，3）

【解析】（1）根据圆的标准方程，设出点P的坐标，然后利用两点间距离公式，得到|AP|2+|BP|2的表达式，即可求得P点的坐标．（2）①确定|QN|=|QM|，△QMN为等边三角形，即可求直线QC的方程；②x2+y2﹣（a+3）x﹣4y+3a=0与圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21=0联立得：﹣a（x﹣3）+3x+4y﹣21=0，即可证明结论．