Question

5．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（4）=0，则$\frac{f（x）+f（-x）}{3x}$＜0的解集（-4，0）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：若函数f（x）为偶函数，则不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{3x}$＜0等价为$\frac{f（x）+f（x）}{3x}$=$\frac{2f（x）}{3x}$＜0，
即xf（x）＜0，
∵f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，f（4）=0，
∴函数f（x）对应的图象为：
则不等式等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞4，
x＜0时，f（x）＞0，此时0＜x＜4，
综上不等式的解集为（-4，0）∪（4，+∞），
故答案为：（-4，0）∪（4，+∞）

点评 本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．