Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

2

，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，令n=1，得a₂=

3

4

，a₂-a₁-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，再由b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，得到

bn+1

bn

=

an+2-an+1-1

an+1-an-1

=

1

2

．所以b_n}是等比数列．
（2）由a_n+1-a_n-1=-

3

2

×

1

2n

，知a₂-a₁-1=-

3

2

×

1

2

，a₃-a₂-1=-

3

2

×

1

22

，a_n-a_n-1-1=-

3

2

×

1

2n^-1

，将以上各式相加得到数列{a_n}的通项．

解答：解：（1）证明：a₁=

1

2

，2a_n+1=a_n+n，
∵a₂=

3

4

，a₂-a₁-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1-1

an+1-an-1

=

an+1+(n+1) 2 - an+n 2 -1

an+1-an-1

=

an+1-an-1 2

an+1-an-1

=

1

2

．
b_n=-

3

4

×（

1

2

）^n-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴{b_n}是以-

3

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（2）∵a_n+1-a_n-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴a₂-a₁-1=-

3

2

×

1

2

，
a₃-a₂-1=-

3

2

×

1

22

，
∴a_n-a_n-1-1=-

3

2

×

1

2n^-1

，
将以上各式相加得：
∴a_n-a₁-（n-1）=-

3

2

（

1

2

+

1

22

++

1

2n^-1

），
∴a_n=a₁+n-1-

3

2

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2

+（n-1）-

3

2

（1-

1

2n-1

）=

3

2n

+n-2．
∴a_n=

3

2n

+n-2．

点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意累加求和法的合理运用．