【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式在时恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当时,证明:.
【答案】(1)见解析;(2)[1,+∞);(3)证明见解析.
【解析】
(1)求导数可得,当时函数在上单调递增;当时易得函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)由(1)知当时,不等式在,时恒成立,当时,不等式不成立,综合可得的范围;
(3)由(2)的单调性易得,进而可得,,,,将上述式子相加可得结论.
解:(1)求导数可得,
当时,,函数在上单调递增;
当时,由可得,
函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)由(1)知当时,函数在上单调递增,
,即不等式在时恒成立,
当时,函数在上单调递减,
存在使得,
即不等式不成立,
综上可知实数的取值范围为,;
(3)由(2)得当时,不等式在时恒成立,
即,,.
即,
,,,,
将上述式子相加可得
原不等式得证.
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【题目】若以曲线上任意一点为切点作切线,曲线上总存在异于点的点,使得以点为切点作切线满足,则称曲线具有“可平行性”,其中具有“可平行性”的曲线是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图①,在等腰梯形中,,,分别为,的中点,,为中点现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体在图②中,
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值。
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【题目】大型综艺节目《最强大脑》中,有一个游戏叫做盲拧魔方,就是玩家先观察魔方状态并进行记忆,记住后蒙住眼睛快速还原魔方,盲拧在外人看来很神奇,其实原理是十分简单的,要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示,是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论,某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查,得到的情况如下表所示:
喜欢盲拧 | 不喜欢盲拧 | 总计 | |
男 | 22 | ▲ | 30 |
女 | ▲ | 12 | ▲ |
总计 | ▲ | ▲ | 50 |
表1
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表所示:
成功完成时间(分钟) | ||||
人数 | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)将表1补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?
(2)根据表2中的数据,求这30名男生成功完成盲拧的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);附参考公式及数据:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系中的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(为实数.)
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线有公共点,求的取值范围.
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【题目】某医疗器械公司在全国共有个销售点,总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.
(1)完成年销售任务的销售点有多少个?
(2)若用分层抽样的方法从这个销售点中抽取容量为的样本,求该五组,,,,,(单位:千台)中每组分别应抽取的销售点数量.
(3)在(2)的条件下,从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取个,求这两个销售点不在同一组的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点,圆:与轴的正半轴的交点是,过点的直线与圆交于不同的两点.
(1)若直线与轴交于,且,求直线的方程;
(2)设直线,的斜率分别是,,求的值;
(3)设的中点为,点,若,求的面积.
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