Question

图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．AC，BD交于O点．

（1）二面角Q－BD－C的大小：

（2）求二面角B－QD－C的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

试题分析：连QO，则QO∥PA且QO＝PA＝AB

∵ PA⊥面ABCD

∴ QO⊥面ABCD

面QBD过QO，

∴ 面QBD⊥面ABCD

故二面角Q－BD－C等于90°．

（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．

∵ 面QBD⊥面BCD，

又∵ CO⊥BD

CO⊥面QBD

CH在面QBD内的射影是OH

∵ OH⊥QD

∴ CH⊥QD

于是∠OHC是二面角的平面角．

设正方形ABCD边长2，

则OQ＝1，OD＝，QD＝．

∵ OH·QD＝OQ·OD

∴ OH＝．

又OC＝

在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝

∴ ∠OHC＝60°

故二面角B－QD－C等于60°．

考点：二面角求解

点评：本题还可用空间向量的方法求二面角