已知:如图,等腰直角三角形的直角边,沿其中位线将平面折起,使平面⊥平面,得到四棱锥,设、、、的中点分别为、、、.
(1)求证:、、、四点共面;
(2)求证:平面平面;
(3)求异面直线与所成的角.
(1)见解析;(2)见解析;(3).
解析试题分析:(1)要证四点共面,只需找到一个平面,这四个点都在这个平面内,用确定平面的方法,两条平行线确定一个平面,即可证出;(2)要证明两个平面垂直,只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可,也就是只需证线面垂直即可,而要证线面垂直,只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线,这样,一步步寻找成立的条件即可;(3)求异面直线所成角,先平移两条异面直线中的一条,使它们成为相交直线,则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角,再放入三角形中计算即可.
试题解析:(1)由条件有为的中位线,为梯形的中位线
∥,∥
四点共面 3分
(2)证明:由等腰直角三角形有,
又,面 又∥
平面,平面
平面平面 6分
(3)由条件知
延长到,使,连结 8分
则,故为平行四边形 10分
,又
为异面直线BE与QM所成的角(或的补角) 11分
,且三线两两互相垂直
∴由勾股定理得 12分
ACR为正三角形,=,异面直线与所成的角大小为 13分.
考点:1.平面的基本性质;2.平面与平面垂直的判定;3.异面直线及其所成的角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动
(Ⅰ)求三棱锥E-PAD的体积;
(Ⅱ)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、,其中.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)在线段上是否存在点使得平面?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且
(Ⅰ)求证:AB⊥PD;
(Ⅱ)求证:GN//平面PCD.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,正方形所在平面与圆所在的平面相交于,线段为圆的弦,垂直于圆所在的平面,垂足为圆上异于、的点,设正方形的边长为,且.
(1)求证:平面平面;
(2)若异面直线与所成的角为,与底面所成角为,二面角所成角为,求证
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E为PA的中点.
(1)证明:DE∥平面PBC;
(2)证明:DE⊥平面PAB.
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