【题目】设函数,其中, 是自然对数的底数.
(Ⅰ)若是上的增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)若,证明: .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)由于函数单调递增,故导函数恒为非负数,分离常数后利用导数求得的最小值,由此得到的取值范围;(II)将原不等式,转化为,令,求出的导数,对分成两类,讨论函数的最小值,由此证得,由此证得.
试题解析:
(Ⅰ), 是上的增函数等价于恒成立.
令,得,令().以下只需求的最大值.
求导得,
令, , 是上的减函数,
又,故1是的唯一零点,
当, , , 递增;当, , , 递减;
故当时, 取得极大值且为最大值,
所以,即的取值范围是.
(Ⅱ) .
令(),以下证明当时, 的最小值大于0.
求导得 .
①当时, , ;
②当时, ,令,
则 ,又 ,
取且使,即,则 ,
因为,故存在唯一零点,
即有唯一的极值点且为极小值点,又,
且,即,故,
因为,故是上的减函数.
所以 ,所以.
综上,当时,总有.
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【题目】“数列{an}成等比数列”是“数列{lgan+1}成等差数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】【2017广东佛山二模】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品,每年每人只要交少量保费,发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种,根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表(并以此估计赔付概率).
(Ⅰ)根据规定,该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%,试分别确定各类工种每张保单保费的上限;
(Ⅱ)某企业共有职工20000人,从事三类工种的人数分布比例如图,老板准备为全体职工每人购买一份此种保险,并以(Ⅰ)中计算的各类保险上限购买,试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.
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【题目】某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框,其内框与外框均为矩形,并用木条相互连结,连结木条与所连框边均垂直.水平方向的连结木条长均为8cm,竖直方向的连结木条长均为4cm,内框矩形的面积为3200cm2 . (不计木料的粗细与接头处损耗)
(1)如何设计外框的长与宽,才能使外框矩形面积最小?
(2)如何设计外框的长与宽,才能使制作整个展示框所用木条最少?
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【题目】(本题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为,, ,,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过克的产品数量;
(2)在上述抽取的件产品中任取件,设为重量超过克的产品数量,求的分布列;
(3)从该流水线上任取件产品,求恰有件产品的重量超过克的概率.
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【题目】已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积S= 且sinA= .
(1)求sinB;
(2)若边c=5,求△ABC的面积S.
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【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1 , 连接AP交棱CC1于点D.以A1为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)写出A1、B、B1、C、D、P的坐标;
(2)求异面直线A1B与PB1所成角的余弦值.
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