Question

【题目】已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2x﹣y﹣2=0上
（1）求圆的方程；
（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）

R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25

∴圆C的方程为：（x﹣1）2+y2=25

（2）解：设直线l的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，

则d=

由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0

∴k＜0或k＞

又因为k＞0

∴k的取值范围是（ ，+∞）

（3）解：设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣ （x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0

∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2

∵k=2＞

故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0

【解析】（1）圆心C是MN的垂直平分线与直线2x﹣y﹣2=0的交点，CM长为半径，进而可得圆的方程；（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点，则C到l的距离小于半径，进而得到k的取值范围；（3）求出AB的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案．