Question

(本小题满分14分)

已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．

(1)求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；

(3)设,的导数为,令

求证：

 

Answer 1

【答案】

(1)  ；

(2)存在实数,使得函数f(x)的极小值为1 ；

(3)

∴其中等号成立的条件为x=1， 

【解析】(1)根据有两个不同的实数根，从而得到b,a的一个不等式，再根据得到a,b的等式，消去b，可以解出a的取值范围.

(2)直接求其极小值，根据极小值为1,求出a的值即可.

（3）先求出，然后问题的关键是

下面采用均值不等式进行证明即可.

解：(1)∵,∴，由题意∴f^/(1)=1+2a-b=1，

∴b=2a．    ①      ……2分 

∵f(x)有极值，∴方程f^/(x)=x²+2ax-b=0有两个不等实根．

∴△=4a²+4b>0、    ∴a²+b>0．    ②

由①、②可得，α²+2a>0．∴a<-2或a>0．故实数a的取值范围是4分

(2)存在.……………5分

由(1)可知，令f^/(x)=0

∴x=x₂时，f(x)取极小值，则f（x₂）==1,

∴……………………………………………………7分

若x₂=0，即则a=0(舍)．……………………8分

若

∴存在实数,使得函数f(x)的极小值为1   ………9分

(3)∵,

  ……．l0分

∴其中等号成立的条件为x=1…………………………………………………………13分

…………………………………………14分