(本小题满分14分)
已知函数(为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由;
(3)设,的导数为,令
求证:
(1) ;
(2)存在实数,使得函数f(x)的极小值为1 ;
(3)
∴其中等号成立的条件为x=1,
【解析】(1)根据有两个不同的实数根,从而得到b,a的一个不等式,再根据得到a,b的等式,消去b,可以解出a的取值范围.
(2)直接求其极小值,根据极小值为1,求出a的值即可.
(3)先求出,然后问题的关键是
下面采用均值不等式进行证明即可.
解:(1)∵,∴,由题意∴f/(1)=1+2a-b=1,
∴b=2a. ① ……2分
∵f(x)有极值,∴方程f/(x)=x2+2ax-b=0有两个不等实根.
∴△=4a2+4b>0、 ∴a2+b>0. ②
由①、②可得,α2+2a>0.∴a<-2或a>0.故实数a的取值范围是4分
(2)存在.……………5分
由(1)可知,令f/(x)=0
∴x=x2时,f(x)取极小值,则f(x2)==1,
∴……………………………………………………7分
若x2=0,即则a=0(舍).……………………8分
若
∴存在实数,使得函数f(x)的极小值为1 ………9分
(3)∵,
…….l0分
∴其中等号成立的条件为x=1…………………………………………………………13分
…………………………………………14分
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3 |
π |
4 |
π |
4 |
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(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
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