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1.已知f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),求则函数f(x)的各极大值之和为$\frac{{e}^{π}(1-{e}^{2014})}{1-{e}^{2π}}$.

分析 先求f′(x)=2exsinx,这样即可得到f(π),f(3π),f(5π),…,f(2013π)为f(x)的极大值,并且构成以eπ为首项,e为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求f(x)的各极大值之和即可.

解答 解::∵函数f(x)=ex(sinx-cosx),
∴f′(x)=[ex(sinx-cosx)]′=ex(sinx-cosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;
令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);
∴当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,
当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;
∴当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,
此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π
又∵0≤x≤2015π,∴0和2015π都不是极值点,
∴函数f(x)的各极大值之和为:
eπ+e+e+…+e2013π=$\frac{{e}^{π}(1-{e}^{2014})}{1-{e}^{2π}}$.
故答案为:$\frac{{e}^{π}(1-{e}^{2014})}{1-{e}^{2π}}$.

点评 本题考查极大值的定义,正弦、余弦,和积的导数的求导公式,以及等比数列的概念,等比数列的求和公式,属于中档题.

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