Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，一条垂直于x轴的直线交双曲线的右支于M，N两点，且MF₁⊥MF₂，△F₁MN为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． 1+$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 由题意，∠MF₁F₂=30°，MF₁⊥MF₂，可得|MF₁|=$\sqrt{3}$c，|MF₂|=c，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，∠MF₁F₂=30°，MF₁⊥MF₂，
∴|MF₁|=$\sqrt{3}$c，|MF₂|=c，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．