Question

设向量，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足：
（1）求证：a_n=n+1；
（2）求b_n的表达式；
（3）c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2在[0，1]上为增函数，知a_n=n+1
（2）由可
（3）由题意知，，由此可知存在k=8，9使得c_n≤c_k对所有的n∈N*成立
解答：解：（1）∵，
∴函数=x（x+n）+4x-2=x²+（4+n）x-2
判断知，此函数在[0，1]上为增函数，
∴a_n=-2+1+4+n-2=n+1
（2）
两式相减得：
由上式得
两式作差得
又n=1时，b₁=1
所以
（3）n≥2时，，
令
验证知，当n=1，2也满足
故存在k=8，9使得c_n≤c_k对所有的n∈N*成立
点评：本题考查数列的性质及其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．