分析 (1)由条件可令n=1,2,代入,化简整理,结合an为正整数,计算即可得到所求;
(2)猜想:an=n2(n∈N*).运用数学归纳法证明,注意由n=k命题成立,证明n=k+1也成立,运用解不等式,化简整理可得$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•(k+1)2<ak+1<(k+1)2+$\frac{1}{k-1}$,即可得证.
解答 解:(1)对?n∈N*有:an(2an+1+1)<n(n+1)(an+an+1)<an+1(2an+1),
当n=1时,a1(2a2+1)<2(a1+a2)<a2(2a1+1),
由a2=4,可得9a1<2(a1+4)<4(2a1+1),
即有$\frac{2}{3}$<a1<$\frac{8}{7}$,可得a1=1;
同理可得,当n=2时,有8<a3<10,
可得a3=9;
(2)猜想:an=n2(n∈N*).
下面用数学归纳法证明:
当n=1时,由(1)可得a1=1成立;
假设n=k(k∈N*),有ak=k2.
当n=k+1时,由ak(2ak+1+1)<k(k+1)(ak+ak+1)<ak+1(2ak+1),
即2k2ak+1+k2<k(k+1)(k2+ak+1)<ak+1(2k2+1),
当k=1时,上式显然成立;
则k>1时,可得$\frac{{k}^{2}(k+1)}{{k}^{2}-k+1}$<ak+1<$\frac{k({k}^{2}+k-1)}{k-1}$,
即有$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$•(k+1)2<ak+1<(k+1)2+$\frac{1}{k-1}$,
由0<$\frac{{k}^{2}}{{k}^{3}+1}$<1,$\frac{1}{k-1}$>0,
可得ak+1=(k+1)2,
则n=k+1时,ak+1=(k+1)2也成立.
综上可得,an=n2对?n∈N*都成立.
点评 本题考查数列的通项公式的求法,注意运用猜想和数学归纳法证明,考查化简整理和推理能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{5}{9}$ | C. | -$\frac{1}{4}$ | D. | 1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8 | B. | 8$\sqrt{2}$ | C. | 16 | D. | 16$\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5.6 | B. | 6.4 | C. | 7.2 | D. | 8.1 |
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