Question

一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则此球的表面积等于

πa2

2

．

Answer 1

分析：将正四面体放置于如图的正方体内，可得该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切，算出正方体的内切球表面积即可．再由正四面体的棱长为a算出正方体的棱长，从而得到球的半径r=

2

4

a，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答：解：设题中正四面体为ABCD，将它放置于正方体内，使AC、BD位于上、下底面的异面的面对角线处，
如图所示．可得该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切，
设该正方体的棱长为x，
∵正四面体的棱长为a，∴

2

x=a，解得x=

2

2

a，
可得正方体的内接球直径2r=

2

2

a，得r=

2

4

a，
因此正方体的内接球表面积S=4πr²=4π•(

2

4

a)2=

πa2

2

．
即与正四面体的六条棱都相切球的表面积等于

πa2

2

．
故答案为：

πa2

2

点评：本题给出正四面体的棱长，求它的棱切球的表面积．着重考查了正方体的性质、球的表面积公式和球的内接外切位置关系等知识，属于中档题．