Question

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对任意的x∈R恒成立．
（1）求角A的值；
（2）求f(C）=2sinC·cosB的值域．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理、余弦定理的应用、两角和与差的三角公式、函数的值域等数学知识，考查学生灵活运用数学公式的能力、转化能力以及计算能力.第一问，先利用正弦定理将角化为边，它类似于余弦定理的公式，再利用余弦定理求出，利用三角函数值在内求角，由于，而，所以A为锐角；第二问，因为，所以，代入到解析式中，利用两角和与差的正余弦公式化简表达式，由于关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对任意的x∈R恒成立，所以，解出的取值范围，在中解出角C的取值范围，将得到的角C的范围代入到解析式中，求函数值域.
试题解析：（1）
由正弦定理、余弦定理得，
,………6分
（2）,
∵
 
…12分