Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．


又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）∵E是PC的中点，
∴点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC，
又S_△DFC=

1

2

×2×

3

=

3

，E到平面DFC的距离h=

1

2

PA=

1

2

，
∴V_E-DFC=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．