Question

20．已知函数$f（x）=|x-a|，g（x）=\frac{2}{x}+1$，若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． $（1+2\sqrt{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-2]∪[1+2\sqrt{2}，+∞）$
• D． $（-∞，-2）∪（1+2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 首先根据函数的表达式画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与方程有唯一解的关系即可求得实数a的取值范围．

解答 解：画出函数$g（x）=\frac{2}{x}+1$和y=|x-a|的图象，
（如图）
由图可知，当且仅当直线y=a-x与函数y=$\frac{2}{x}$的图象相切时，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}+1}\\{y=|x-a|}\end{array}\right.$有2解，∴此时a＞2，
x＜a，y=a-x代入y=$\frac{2}{x}+1$，可得：
x²+（1-a）x+2=0，
△=（1-a）²-8=0，解得a=1+2$\sqrt{2}$，要有3个交点，可得a＞1+2$\sqrt{2}$，
函数y=$\frac{2}{x}+1$和y=|x-a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是a＜-2．
综上a$∈（-∞，-2）∪（1+2\sqrt{2}，+∞）$．
故选：D．

点评 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷．