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7.已知数列{an}的前n项和${S_n}=6n-{n^2}$,则数列 $\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前20项和等于$-\frac{4}{35}$.

分析 利用数列递推关系、“裂项求和”方法即可得出.

解答 解:∵${S_n}=6n-{n^2}$,
∴a1=S1=5;n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-n2-[6(n-1)-(n-1)2]=7-2n.n=1时也成立.
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(7-2n)(5-2n)}$=-$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-7})$.
∴数列 $\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前20项和=-$\frac{1}{2}[(-\frac{1}{3}+\frac{1}{5})$+$(-1-\frac{1}{-3})$+$(1-\frac{1}{-1})$+…+$(\frac{1}{35}-\frac{1}{33})]$
=-$\frac{1}{2}(\frac{1}{5}+\frac{1}{35})$
故答案为:-$\frac{4}{35}$.

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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