Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是抛物线y=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$x²的焦点，该椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆右焦点的直线与该椭圆交于A、B两点，P（-5，0）为椭圆外的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线y=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$x²的焦点可知b=$\sqrt{3}$，再利用$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$计算可知a=2，进而可得结论；
（2）通过化简可知S_△PAB=${S}_{△P{F}_{2}A}$+${S}_{△P{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用韦达定理代入计算即得结论．

解答 解：（1）抛物线y=$\frac{1}{4\sqrt{3}}$x²的焦点为F（0，$\sqrt{3}$），
依题意，有$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{{b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知椭圆右焦点F₂（1，0），
设直线AB的方程为：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
S_△PAB=${S}_{△P{F}_{2}A}$+${S}_{△P{F}_{2}B}$
=$\frac{1}{2}$|PF₂|•|y₁|+$\frac{1}{2}$|PF₂|•|y₂|
=$\frac{1}{2}$|PF₂|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$|PF₂|•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$•6•$\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}-4•（-\frac{9}{3{m}^{2}+4}）}$
=36•$\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$
=$\frac{36}{3\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1），记h（t）=3t+$\frac{1}{t}$（t≥1），
则h（t）在[1，+∞）上递增，
∴当t=1时，h（t）_min=h（1）=4，此时m=0，
故△PAB面积的最大值为9．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．