Question

已知点A、B分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

（1）求椭圆方程；
（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、Q两点，求线段PQ的中点到原点的距离等于

1

2

|PQ|时的直线方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

，建立方程组，求出几何量，即可得出椭圆的方程；
（2）分类讨论，直线方程与椭圆方程联立，利用OP⊥OQ，结合韦达定理，即可得到结论．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

∴

c a = 6 3 1 2 ×2a×b= 3

∴a=

3

，b=1，c=

2

∴所求椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=

2

，代入椭圆方程，可得y=±

3

3

，∴|PQ|=

2 3

3

而线段PQ的中点到原点的距离等于

2

，不合题意；
当直线l的斜率存在时，l的方程为y=k（x-

2

），则OP⊥OQ
直线方程与椭圆方程联立，可得（1+3k²）x²-6

2

k2x+6k²-3=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6 2 k2

1+3k2

，x₁x₂=

6k2-3

1+3k2

∴x₁x₂+y₁y₂=

5k2-3

1+3k2

=0
∴k=±

15

5

∴直线l的方程为y=

15

5

（x-

2

）或y=-

15

5

（x-

2

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．