Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax（x≤1）}\\{{a}^{2}x-7a+14（x＞1）}\end{array}\right.$，若?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，3]∪（-∞，-5]
• B． （-∞，2）∪（3，5）
• C． [2，3]
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 分类讨论，利用二次函数的单调性，结合?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），即可求得实数a的取值范围

解答 解：当a=0时，当x≤1时，f（x）=-x²，当x＞1时，f（x）=14，此时存在当x∈[-1，1]时，满足条件．
若a＞0，则当x＞1时，f（x）为增函数，且f（x）＞a²-7a+14，
当x≤1时，f（x）=-x²+ax=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
若$\frac{a}{2}$＜1即a＜2时，则满足条件，
若$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2时，函数在（-∞，1]上单调递增，
要使条件成立则f（x）在（-∞，1]上的最大值f（1）=-1+a＞a²-7a+14，
即a²-8a+15＜0，
即3＜a＜5，
∵a≥2，
∴3＜a＜5，
综上3＜a＜5或a＜2，
故选：B

点评 本题考查分段函数的应用，结合一元二次函数的单调性以及对称性是解决本题的关键．，注意分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，