Question

已知点集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=（2x-b，1），

n

=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)=

an  n为正奇数 bn  n为正偶数

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S_n关于n的函数解析式；

Answer 1

分析：（I）首先运用向量数量积的运算得

m

•

n

=（2x-b）+（b+1）=2x+1，然后再根据等差通项公式得a_n=a₁+（n-1）×1=n-1，最后在根据b_n=2a_n+1，得b_n=2n-1
（Ⅱ）此小问关键在于分类讨论（1）当n=2k时（2）当n=2k-1时然后根据等差求和公式即可

解答：解（Ⅰ）y=

m

•

n

=（2x-b）+（b+1）=2x+1
∵y=2x+1与y轴的交点P₁（a₁，b₁）为（0，1）
∴a₁=0；
∵等差数列{a_n}的公差为1
∴a_n=a₁+（n-1）×1，即a_n=n-1，
因为P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，所以b_n=2a_n+1，即b_n=2n-1
（Ⅱ）
由题意得：
即f（n）=

n-1 (n=2k-1) 2n-1(n=2k)

(k∈N*)

（1）当n=2k时，S_n=S_2k=a₁+b₂+a₃+b₄++a_2k-1+a_2k
=（a₁+a₃++a_2k-1）+（b₂+b₄++b_2k）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-1

2

×k=3k²，
而k=

n

2

，所以Sn=

3

4

n2

（2）当n=2k-1时，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃++a_2k-1）+（b₂+b₄++b_2k-2）
=

0+2k-2

2

×k+

3+4k-5

2

×(k-1)=3k²-4k+1，
而k=

n+1

2

，所以Sn=

3

4

n2-

n

2

-

1

4

因此Sn=

3 4 n2- n 2 - 1 4 ，n=2k-1 3 4 n2 ，n=2k

（k∈N^*）

点评：本题主要考查了数列与向量的综合，属于基础题