Question

如图，已知双曲线C₁：，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C₁，C₂都有公共点，则称P为“C₁﹣C₂型点“

（1）在正确证明C₁的左焦点是“C₁﹣C₂型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁﹣C₂型点”；

（3）求证：圆x²+y²=内的点都不是“C₁﹣C₂型点”

 

Answer 1

【答案】

（1）或，其中（2）见解析（3）见解析

【解析】

试题分析：C₁的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：

或，其中．

（2）证明：因为直线y=kx与C₂有公共点，

所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．

若原点是“C₁﹣C₂型点”，则存在过原点的直线与C₁、C₂都有公共点．

考虑过原点与C₂有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．

显然直线x=0与C₁无公共点．

如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．

所以直线y=kx（|k|＞1）与C₁也无公共点．

因此原点不是“C₁﹣C₂型点”．

（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C₁，C₂都有公共点，显然l不与x轴垂直，

故可设l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，

从而过Q且以k为斜率的直线l与C₂无公共点，矛盾，所以|k|＞1．

因为l与C₁由公共点，所以方程组有实数解，

得（1﹣2k²）x²﹣4kbx﹣2b²﹣2=0．

因为|k|＞1，所以1﹣2k²≠0，

因此△=（4kb）²﹣4（1﹣2k²）（﹣2b²﹣2）=8（b²+1﹣2k²）≥0，

即b²≥2k²﹣1．

因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，

所以，从而，得k²＜1，与|k|＞1矛盾．

因此，圆内的点不是“C₁﹣C₂型点”

考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题